aula 001 - ordem de grandeza - nossos sentidos - unidades de medidas

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - AULA 001 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

 

PARTE TEÓRICA - DOS EXERCÍCIOS

 

AO LADO TEMOS SHELDON LEE COOPER REPRESENTANDO O EFEITO DOPPLER.

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EXERCÍCIO RESOLVIDO - AULA 001 - EXERCÍCIO 001

AULA 001: Ordem de Grandeza, Algarismos Significativos e Notação Científica

   ORDEM DE GRANDEZA, ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Para expressar mais facilmente números muito grandes ou muito pequenos, utiliza-se o recurso das potências de dez. Desta forma, o número 0,00000345 pode ser expresso na forma: 3,45.10^–6.
Na notação científica, deve-se usar um número entre 1 e 10 como multiplicador da potência de 10. No exemplo acima, utilizou-se 3,45 (que está entre 1 e 10).
Uma grandeza física é dita escrita na notação científica quando é expressa na forma de potência de dez, m.10^n, onde: n é um número inteiro e 1≤ m < 10.

 Ordem de Grandeza Associada aos Fenômenos Naturais

Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, não há necessidade ou interesse em conhecer, com precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de seu valor.

Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa sua medida, isto é, ordem de grandeza de um número é a potência de 10 que mais se aproxima deste número.

Por exemplo: a ordem de grandeza de 789 é 10³, pois 789 é um valor compreendido entre 100 e 1000, porém mais próximo de 1000. Por outro lado, a ordem de grandeza de 214 é 10² pois este está mais
próximo de 100.

Podemos extrair esta informação se escrevermos a grandeza física na notação científica.


Obs.: A ordem de grandeza é uma avaliação sem limites fixos, porém há duas considerações necessárias para uma preparação para provas ou exames de vestibulares.

Considera-se o 5,5 como o valor intermediário entre a ordem de grandeza 10^0=1 (inferior) e 10^1=10 (superior) de uma grandeza, por várias bancas examinadoras em vestibulares (por exemplo,
na UFPE). Portanto, para estas bancas examinadoras, um valor de 500 tem a ordem de grandeza inferior, ou seja, está mais próxima de 100 do que de 1000.
Por se tratar de potência de dez, o valor limítrofe entre duas ordens de grandeza deveria ser 10^0,5 = 3,16, ou seja, o valor 500 deveria ter a ordem de grandeza 10³, uma vez que 500 = 10^2,7, portanto
mais próximo de 10^3.
Porém, há duas considerações a serem feitas: a primeira é que ordem de grandeza é uma avaliação subjetiva que tem por função dar uma noção do valor da grandeza em estudo e, sendo assim, estes valores limítrofes não fazem sentido, de modo que é válido tanto um quanto o outro; a segunda é que, por questão de divergência de opiniões entre vários autores em livros sobre física, quanto a estes valores limítrofes, os examinadores em provas de vestibular não colocam questões que envolvam valores compreendidos entre 3,16 e 5,5 a fim de evitar polêmica. Portanto, no caso de uma grandeza ter o valor de 560, deve-se adotar a ordem de grandeza 10^3 e, caso uma grandeza tenha o valor de 298, deve-se adotar 10^2 como sua ordem de grandeza.

Algarismos Significativos

Nas medidas de grandezas físicas, nunca podemos tratar com uma precisão absoluta os valores obtidos através de equipamentos ou aparelhos de medição. Em primeiro lugar, devemos comparar a medida obtida com um padrão preestabelecido; em segundo lugar, a precisão do aparelho que estamos utilizando é determinante no grau de exatidão da grandeza mensurada. Vejamos os exemplos abaixo onde um observador vê duas medidas obtidas através de uma régua milimetrada:

No exemplo 1, acima, o observador verifica que o valor da mensuração é maior que 4,0cm e inferior a 4,1cm. Portanto, ele tem certeza do algarismo 4 e do algarismo 0, logo após o 4, porém o segundo
algarismo após a vírgula ele não sabe, ele pode e deve, ter uma noção de qual seja, porém não tem certeza.
Uma avaliação razoável seria o valor intermediário entre 4,0 e 4,1, ou seja, 4,05. Verifique que o algarismo 5 é apenas uma conjectura, porém mesmo sendo uma hipótese este algarismo tem um significado, como veremos adiante.
No exemplo 2, a situação é ainda um pouco mais difícil, pois o observador tem certeza do algarismo 4, mas o segundo algarismo parece ser “exatamente” o 5, então uma avaliação razoável seria ele ponderar que o valor da medida poderia ser expresso por 4,50. O algarismo zero é um algarismo duvidoso. Esta medida poderia ser, de fato, 4,49 ou 4,51, isto seria plenamente satisfatória dentro do grau de precisão com o qual o observador está trabalhando.É necessário criar-se um intervalo válido
para o qual temos agora “certeza” que a medida se encontra.
Nos procedimentos mais usuais, utiliza-se como variação na precisão de uma medida a metade do menor intervalo de uma escala.
Nos nossos dois exemplos, a medida é milimetrada, portanto, a variação de erro na medição não ultrapassa ± 0,5 mm , ou seja, ± 0,05 cm. Portanto, uma maneira adequada de expressar o resultado é: para o primeiro exemplo: M1 = 4,05 cm ± 0,05 cm; e para o segundo exemplo: M2 = 4,50 cm ± 0,05 cm.
Nas medidas físicas, o último algarismo, numa medição deste tipo linear (analógica) deve ser sempre avaliado e é, obviamente, sempre duvidoso, ainda que seja significativo, pois dá-nos uma ideia do número provável e o intervalo no qual, com certeza, a medida de nossa grandeza está. Acrescentar algarismos após o duvidoso é totalmente incoerente e desnecessário, portanto, todos algarismos numa medida após o algarismo duvidoso não são significativos. Em aparelhos digitais, onde não é possível fazer-se uma avaliação do tipo acima mencionado, o problema da precisão é fornecida pelo fabricante do equipamento.
Nele vem estabelecido em termos percentuais o erro da medida exibida pelos dígitos e com isso é possível construir o intervalo “seguro” para o resultado da medida.
Os algarismos significativos são os algarismos que temos certeza em nossa medição acompanhado de um duvidoso, que também é significativo, por dar-nos uma ideia de qual seria o próximo algarismo na medida.

Arredondamento
“Por vezes, conhecemos algumas medidas com mais significativos que os necessários a determinado fim. Em tais casos, conservamos apenas os significativos desejados e abandonamos os demais. Por exemplo, a medida 47,238 m possui cinco significativos. Se, por acaso, bastarem três, escreveremos 47,2 m; havendo necessidade de quatro, escrevere-mos 47,24 m.
Como vemos, forçamos o algarismo da segunda casa decimal de 3 para 4. Eis a razão: se tivéssemos usado 47,23 m, estaríamos cometendo um erro, por falta, igual a 47,238 m – 47,23 m = 0,008 m.
Usando 47,24 m, estamos cometendo um erro, por excesso, menor: 47,24 m – 47,238 m = 0,002 m.
Por esta razão, ao arredondar um número, devemos ter em mente a seguinte regra: o último algarismo de um número, obtido por arredondamento, deve ser acrescido de uma unidade, caso o algarismo seguinte seja igual ou superior a cinco.”
                                                                                                                                                                                                                                       Dalton Gonçalves

Operações Com Algarismos Significativos

Adição e subtração

Na adição ou subtração de grandezas físicas, o resultado deve conter o mesmo número de casas decimais do termo que possuir menor número de casas decimais.

Exemplo:
S = 32,5 + 0,02 + 77,25 = 109,77⇒ S = 109,8

Multiplicação ou divisão

Na multiplicação ou divisão de grandezas físicas, o resultado deve conter o mesmo número de algarismos significativos do termo que contém o menor número de algarismos significativos, sendo tolerável um algarismo significativo a mais que o mínimo.

Exemplo:
1732,83 m X 0,25 m = ?
No caso, usaremos o primeiro fator com três significativos e sabemos que o resultado deverá conter dois algarismos significativos:
(1,73 X 10³) (0,25)m² = 4,3 X 10² m²

Forte abraço,

Prof. Sérgio Torres

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                                                     Sergio Torres

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Quando era ainda estudante de Medicina na Universidade de Pisa (curso que cumpria para atender ao desejo de seu pai), Galileu Galilei acompanhou, por acaso, uma palestra sobre Geometria. Ficou tão interessado que começou a ler os livros de Arquimedes sobre esse assunto e até convenceu o pai a deixá-lo trocar de carreira. Mais tarde, nas experiências científicas que viria a realizar, ficaria visível seu empenho em traduzir os fenômenos físicos em termos quantitativos (ou seja, em medidas) e em descobrir as relações matemáticas que os descrevessem de maneira mais simples.
Ainda estudante, com 17 anos, ele constatou, ao observar um lustre oscilando na catedral, que os períodos de oscilação eram constantes, não dependendo da amplitude do movimento.

Para confirmar sua descoberta, construiu dois pêndulos iguais e os pôs em movimento, com amplitudes diferentes. Ambos se moveram com o mesmo período, demonstrando que sua observação era correta e válida para qualquer pêndulo.

É interessante saber que, desprovido de relógios adequados para efetuar as medições, Galileu recorreu a suas próprias pulsações cardíacas. Só após sua morte é que o holandês Christiaan Huygens criaria um relógio suficientemente preciso, baseado, aliás, nas propriedades do pêndulo detectadas por Galileu.

Na época, aceitava-se a ideia de Aristóteles de que a velocidade de queda de um corpo era proporcional ao seu peso: corpos mais pesados cairiam mais rapidamente que os mais leves. Galileu demonstrou que os objetos leves eram apenas retardados pela resistência do ar; na queda de diferentes objetos pesados e compactos, não havia diferença de velocidade. Isso o fez supor que, no vácuo, todos os corpos, não importando seu peso ou forma, cairiam com velocidades iguais. (Isto só pôde ser demonstrado experimentalmente bem mais tarde, pelo inglês Robert Boyle, quando já se conseguia produzir um vácuo mais perfeito.)

Diz-se que Galileu subia na torre inclinada de Pisa para demonstrar esse fenômeno, fazendo cair duas bolas de canhão, mas ele não deixou qualquer descrição dessa experiência. O que existe, isto sim, é o registro dos experimentos com o plano inclinado (ele fazia rolar objetos por um plano inclinado), que lhe permitiram demonstrar, com medições mais precisas, a igualdade dos tempos de queda. Esse artifício também lhe permitiu concluir que a velocidade de queda aumenta constantemente (ou seja, que a queda é um movimento uniformemente variado).

Das ideias deixadas por Galileu, provavelmente a mais famosa foi seu conceito de inércia. Segundo ele, a inércia seria a tendência dos corpos a se manterem em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, razão pela qual um objeto situado na superfície terrestre não é deixado para trás enquanto o planeta se move e pela qual a trajetória de um corpo (por exemplo, uma seta disparada de um arco) não parece ser afetada pelo movimento terrestre.

As diversas descobertas de Galileu formaram uma base para a ciência da Mecânica, que frutificaria plenamente nos trabalhos de Newton, no século seguinte. Essa progressão de ideias ajudou a estabelecer em ciência um tipo de visão chamado "mecanicista": todos os fenômenos poderiam ser analisados em termos mais simples, como se fossem compostos de alavancas, roldanas, engrenagens e forças mensuráveis a impulsioná-los. (Tal visão permaneceria imbatível até o início do século XX.)
Galileu é, porém, até hoje amplamente lembrado pela maneira como escapou de ser condenado à fogueira. Suas descobertas vinham levando-o a discordar cada vez mais das ideias de Aristóteles, então amplamente aceitas, de que o mundo celeste era perfeito e imutável.

Além disso, seu frequente posicionamento contrário às ideias convencionais, bem como o hábito de ironizar seus opositores, fez com que granjeasse grande número de inimizades, até que foi obrigado a se mudar para Pádua. (Esta cidade pertencia então a outra nação: a República de Veneza. Pisa ficava no Reino da Toscana. A Itália, tal qual a conhecemos hoje, só seria formada no século XIX.)
Foi em Pádua que Galileu construiu seus telescópios, com base em informações sobre instrumentos semelhantes inventados na Holanda, mas que eram utilizados como microscópios. Ao utilizá-los para observar o céu, Galileu faria constatações irreversíveis sobre a própria ordem do universo: a Lua mostrava ter superfície rugosa, com montanhas e crateras, o que contrariava a perfeição que se atribuía aos corpos celestes; o Sol apresentava manchas e girava, conforme o deslocamento dessas manchas permitia ver; a Via Láctea, até então vista apenas como uma região mais luminosa no céu, revelava conter milhares de estrelas; Vênus tinha fases variáveis, como a Lua; quanto a Júpiter, apresentava quatro outros corpos que giravam ao seu redor (e não em torno da Terra!). Era a prova de que o universo não estava organizado conforme a versão oficial da Igreja. Ao que se via, ele podia até mesmo ser infinito.

Essas descobertas foram divulgadas numa publicação periódica chamada Sidereus nuntius [O mensageiro das estrelas], alcançando estudiosos em diversas partes da Europa. Galileu também prosseguiu com a fabricação de telescópios, enviando-os a vários países (Um exemplar chegaria a Kepler,  que então vivia em Praga.)
Recebeu um convite para trabalhar em Veneza, o que era extremamente lisonjeiro, mas acabou optando por outro, não menos importante, de Florença.
Num novo livro, chegou a tocar em temas teológicos e, com isso, provocou a ira dos mais conservadores, que levaram o papa Pio V a declarar a teoria heliocêntrica de Copérnico, base de todo o trabalho, como heresia.

Isso forçou Galileu a um silêncio que se estenderia por mais de uma década. Em 1632, já no pontificado de um novo papa, Urbano VIII, acreditou poder publicar, sem maiores problemas, seu livro Dialogo dei massimi sistemi [Diálogo sobre os grandes sistemas do universo], no qual duas personagens conversam, uma defendendo as antigas teorias, outra as de Copérnico.
Pelo conteúdo dessa obra, Galileu foi levado a julgamento no tribunal da Santa Inquisição (organização encarregada de punir os que se desviassem das normas de conduta admitidas pela Igreja Católica). Em 1633, com quase 70 anos, foi obrigado a negar suas ideias, sob pena de ser queimado vivo. Conta-se que, após declarar-se arrependido, teria virado o rosto de lado e murmurado em voz baixa: "Eppur si muove!", frase cujo significado pode ser facilmente deduzido: "Mas, apesar disso tudo, a verdade é que ela se move!"

>>>>>>>>>>>>Vinte e um anos atrás, no dia 31 de outubro de 1992, o papa João Paulo II reconheceu os enganos cometidos pelo tribunal eclesiástico que condenou Galileu Galilei à prisão. Essa revisão de posicionamento, portanto, ocorreu 350 anos após a morte do cientista italiano. Galileu não dependia dessa absolvição para receber o galardão dos maiores nomes da história, mas o ato simbólico buscou corrigir uma das mais históricas injustiças cometidas pela igreja. O motivo da discórdia? Galileu defendia a tese de Copérnico de que a Terra não ficava no centro do Universo, e sim orbitava o Sol. Com uma interpretação literal da Bíblia, a Igreja Católica não aceitava que essa teoria fosse tratada como verdade - apenas como hipótese. Assim, Galileu foi obrigado a negar suas ideias publicamente e viver confinado em uma espécie de prisão domiciliar.
Esse é apenas um dos casos em que a religião colidiu com a ciência ao longo da história. O mito de Galileu e, sobretudo, da perseguição da Inquisição sobre ele, é tão forte que há gente que pensa que o astrônomo-físico-matemático-filósofo foi queimado pelos católicos. Na verdade, esse desagradável fim coube a Giordano Bruno, filósofo e teólogo contemporâneo e conterrâneo de Galileu. "Ele propôs a existência de outros planetas e possivelmente outras civilizações no Cosmos. O que gerou, para a Igreja, o curioso problema de ter de haver muitos Cristos", explica Gerson Egas Severo, coordenador do curso de Especialização em História da Ciência da Universidade Federal da Fronteira Sul (UFF).
Talvez por medo de que seu destino se tornasse o mesmo de Bruno, ou então por imaginar que, mais tarde, as ideias que defendia seriam aceitas sem ressalvas, Galileu aceitou a condenação de afirmar, publicamente, que estava equivocado. Para Severo, o cientista foi um personagem fundamental na Revolução Científica do século 17. "Como o estabelecimento da ciência moderna envolvia necessariamente o esforço de distinguir claramente a cosmovisão e metodologia da ciência das narrativas de ordem religiosa, a encrenca se formou", opina.
Além de suas próprias e revolucionárias descobertas no campo da física e da astronomia, Galileu defendia com unhas e dentes a visão heliocêntrica de Nicolau Copérnico, em contraposição ao geocentrismo defendido pela Igreja Católica, no qual a Terra seria o centro do universo. Muitos religiosos admiravam a figura de Galileu, pelas suas descobertas, mas, com o protestantismo se expandindo, a igreja endurecia a sua doutrina e não abria mão da visão geocêntrica, o que levou o italiano ao tribunal. "Copérnico havia morrido um pouco antes da publicação de seu livro, o que o livrou de incomodações", lembra o professor Severo. "Mas as suas ideias foram levadas às últimas consequências matemáticas por Galileu, o que o levou, em seus derradeiros anos, aos bancos da Inquisição."
Especialmente na Idade Média, outros tantos pensadores foram perseguidos pela Santa Inquisição. Dos célebres, apenas Giordano Bruno teve o fim trágico na fogueira. Com ou sem tirania, a Igreja Católica, que durante muitos séculos monopolizava a distribuição de livros, proibiu a publicação de um grande número de autores. Isso se potencializou após a Reforma Protestante, quando foi lançada pelos católicos a primeira edição do Index Librorum Prohibitorum, uma lista de publicações literárias proibidas pela igreja. Além de Galileu e Copérnico, já tiveram obras proibidas no documento pensadores e escritores célebres como Maquiavel, Rousseau, Montesquieu, Vitor Hugo, Immanuel Kant, Descartes e tantos outros. "Após esses momentos cruciais da história da ciência, a relação entre ciência e religião prosseguiu difícil, tensa, cheia de idas e voltas", diz Severo.
Apesar da aproximação que presenciamos no século 21, o professor sugere que história, filosofia e sociologia ainda ajudarão a responder se o diálogo entre religião e ciência é possível. O Papa João Paulo II acreditava nessa união. No dia 31 de outubro de 1992, foram apresentadas as conclusões da comissão sobre a controvérsia ptolomaico-copernicana do século XVI e XVII, instaurada pelo então papa. "O erro dos teólogos da época, quando mantinham a centralidade da Terra, era o de pensar que o nosso entendimento da estrutura física do mundo era, de algum modo, imposto pelo sentido literal da Sagrada Escritura", afirmou João Paulo II.
"De fato, a Escritura não se ocupa dos pormenores do mundo físico, cujo entendimento compete à experiência humana e à razão. Existem dois domínios de conhecimento, um cujas fontes está na Revelação e outro que a razão pode descobrir por suas próprias forças. A este último pertencem notadamente as ciência experimentais e a filosofia. A distinção entre dois domínios do saber não deve ser entendida como oposição. Os dois domínios não são estranhos um ao outro. Eles têm pontos de contato. Os métodos próprios de cada um permitem pôr em evidência aspectos diferentes da realidade".<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<