Arquimedes, o grande precursor do Cálculo Integral

Arquimedes, o grande precursor do Cálculo Integral

Uma das primeiras manifestações do cálculo integral é devida a Antifon, um contemporâneo de Sócrates. Antifon argumentava que, por sucessivas duplicações do número de lados de um polfgono regular inscrito num cfrculo, a diferença entre a área do círculo e a dos polígonos seria "ao fim" exaurida. E como sempre é possível construir um quadrado equivalente a qualquer polígo­no, a quadratura do círculo seria possível.

Apesar de sua inconsistência, a argumentação de Antifon contém o gérmen do método de exaustão, creditada a Eudóxio, cuja base é a proposi­ção: "Se de uma grandeza subtrai-se uma parte não menor que sua metade, do restante outra parte não menor que sua metade, e assim por diante, numa determinada etapa do processo chega-se a uma grandeza menor que qualquer outra da mesma espécie fixada a priori". Esse método representa o expediente grego para evitar processos infinitos — dos quais desconfia­vam. E ninguém o manejou com tanta elegância e mestria como Arquimedes (287-212 a.C).

Natural de Siracusa, na época a maior cidade do mundo grego, situada na costa sudoeste da Sicília, Arquimedes era filho do astrónomo Fídias, talvez

seu mestre. Mas é possível que tenha estudado em Alexandria, em virtude da correspondência regular que mantinha com alguns sábios do museu local, como, por exemplo, Eratóstenes.

Seu excepcional talento para invenções mecânicas ganhou notoriedade, especialmente durante a Segunda Guerra Púnica, quando Siracusa foi sitiada pelos romanos. Graças aos engenhos bélicos que ideou, a cidade resistiu ao assédio romano por cerca de dois anos e só caiu devido a atos de traição de cidadãos locais.

Depois da invasão inimiga, Arquimedes foi morto por um soldado romano, com o qual teria se irritado por ser interrompido em meio suas pesquisas matemáticas. Desgostoso com esse desfecho, o comandante romano Marcelo mandou que se cumprisse um desejo expresso em vida por Arquimedes: que se gravasse em seu túmulo a figura de uma esfera inscrita num cilindro reto, para ser lembrado pelo teorema de sua autoria que lhe era mais caro, ou seja, "o volume da esfera inscrita é 2/3 do volume do cilindro'.

Mas o que Arquimedes realmente valorizava eram suas conquistas teóricas no campo da matemática, da astronomia e da mecânica. Estas foram muitas, todas de grande originalidade, expressas no mais autêntico rigor da tradição grega, mas com um toque oriental, na medida em que não subestimavam os números e as aproximações numéricas.

As mais importantes contribuições de Arquimedes são sobre questões em cuja abordagem se usa hoje o Cálculo Diferencial e Integral. Assim é que no livro A quadratura da parábola ele fornece dois métodos para determinar a área de um segmento de parábola. No primeiro, em que considera certas figuras planas envolvidas como "somas" infinitas de segmentos de reta, usa argumentos mecânicos. 

Se A e B são os extremos do segmento de parábola considerado e C é o ponto onde a tangente à parábola é paralela a AB, Arquimedes chegou à conclusão de que a área do segmento de parábola mostrado na figura deveria ser 4/3 da área do triângulo ACB. No segundo, o método de exaustão, que utiliza ao fim o resultado já obtido mecanicamente, busca a certeza que só a geometria fornece. Se A é a área do triângulo ABC, D e E são os pontos da parábola em que as tangentes são paralelas a AC e CB, prosseguindo nesse raciocínio Arquimedes provou que ACB, (ADC) U (CEB), ... satisfazem a proposição que embasa o método de exaustão, relativamente ao segmento

de parábola, e também que a sequência das áreas respectivas é  

....

Modernamente bastaria achar a soma da progressão geométrica infinita 

Para ter a área pretendida. Como desconhecia esse procedimento hoje corriqueiro, Arquimedes provou por dupla redução ao absurdo que essa área não poderia ser nem maior nem menor que 

, resultado de que já dispunha.

Esse fato ilustra por que, ao que parece, Arquimedes teria dito em algum momento de sua vida: "Só a ciência pura é digna de um espírito superior."

Forte abraço,

Prof. Sérgio Torres

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