Hygino H. Domingues
Em seu livro Reflexões sobre a resolução algébrica de equações (1770), Joseph Louis Lagrange chegou a um método para resolução de equações de grau dois, três e quatro baseado numa ideia central em que um dos componentes principais era a incipiente teoria das permutações. Como esse método, aplicado às equações de grau cinco, apresentasse dificuldades que não conseguiu vencer, Lagrange chegou a aventar a hipótese de que seria impossível uma solução geral por radicais dessas equações. Mas expressou a ideia de que a "verdadeira filosofia da questão" estava na teoria das permutações.
Em 1826 Abel se encarregou de confirmar a impressão de Lagrange. Cerca de cinco anos depois o jovem francês Evariste Galois (1811-1832) iria caracterizar, em termos da teoria das permutações, as condições de resolubilidade por radicais das equações algébricas.
Galois nasceu numa aldeia próxima a Paris da qual seu pai era o prefeito. Ao que parece, seu gosto pela matemática só irrompeu em 1827, no Colégio Louis-le-Grand de Paris, onde ingressara quatro anos antes: entusiasmou-se tanto com os Elementos de Geometria de Legendre que praticamente leu essa obra de um fôlego. Aos 16 anos de idade tentou ingressar na Escola Politécnica, desejoso de ser aluno dos excelentes matemáticos que lá lecionavam. Fracassou por falta de preparo sistemático, como fracassaria dois anos depois numa nova tentativa. Mais sucesso teve na Escola Normal Superior, na qual obteve uma vaga em outubro de 1829, mas foi excluído em janeiro de 1831, por sua atuação política, considerada subversiva pelo diretor. Em 30 de maio de 1832 foi atingido por uma bala num duelo provavelmente forjado pela polícia, que via nele um radical republicano perigoso. No dia seguinte, ainda sem completar 21 anos, morria de peritonite num hospital de Paris.
Essas e outras atribulações, bem como o pouco tempo que viveu, não impediram que Galois produzisse uma obra que, embora pequena, seria das mais renovadoras da matemática em todos os tempos.
Assim é que, já em maio de 1829, enviou à Academia de Ciências seus resultados sobre a teoria das equações. Cauchy, designado para a avaliação, perdeu o material. Em fevereiro de 1830, volta à carga com outra versão de suas ideias. Fourier, que deveria examinar o trabalho, morreu antes de emitir seu parecer. E outra vez um manuscrito de Galois sumia. Em janeiro de 1831 bate às portas da Academia com o artigo "Uma memória sobre as condições de resolubilidade das equações por radicais". Depois de seis meses Poisson emitiu seu parecer: os argumentos não eram suficientemente claros com vistas a uma opinião definitiva. Nas vésperas do duelo, Galois fez o derradeiro esforço para ser entendido. Numa carta a um amigo descreveu o conteúdo da memória rejeitada por Poisson, solicitando empenho em fazer publicá-la — o que ocorreu no mesmo ano, porém sem repercussão. Só em 1843, graças a J. Liouville (1809-1882), suas ideias começaram a ser devidamente avaliadas.
Que ideias?
Galois introduziu a noção de grupo em matemática (e o próprio termo pelo qual é conhecida), dando assim, muito provavelmente, o primeiro passo na criação da álgebra moderna. Uma coleção G de permutações do conjunto das raízes de uma equação é um grupo se:
A teoria de Galois associa a cada equação algébrica um conveniente grupo de permutações de suas raízes. E estabelece que a equação é resolúvel por radicais se, e somente se, esse grupo é de um certo tipo (definido na teoria). Por fim conseguia-se uma caracterização da resolubilidade por radicais! E como, para n>5, sempre há equações de grau n, cujo grupo não é do tipo definido por Galois, o próprio teorema de Ruffini-Abel passava a ser uma consequência da teoria de Galois.
A título de ilustração, registramos que se p é um número primo positivo, então a equação x^5 + px + p = 0 não é resolúvel por radicais, o que se demonstra nos cursos ou textos da teoria de Galois. Mas há polinómios de grau > 5 que o são, por exemplo, x^11 - 1 = 0, cuja solução (sobre a qual se infere a afirmação feita) encontra-se num escrito do matemático francês A. T. Vandermonde (1735-1796), editado em 1771, ou seja, décadas antes do nascimento de Abel e Galois.
Uma amostra de como Galois estava à frente de seu tempo é o fato de que só em 1870 suas ideias conseguiram ser plenamente elucidadas.
comentário:
Galois traiçoeiramente assassinado aos 21 anos pelo radicalismo político, o que teria feito se tivesse uma vida de plena longevidade? O atraso do radicalismo impede o crescimento intelectual por décadas e às vezes por séculos, mas no final cai por terra e a verdade vem à tona. Parabéns Evariste Galois (eterno pela obra).
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Galois traiçoeiramente assassinado aos 21 anos pelo radicalismo político, o que teria feito se tivesse uma vida de plena longevidade? O atraso do radicalismo impede o crescimento intelectual por décadas e às vezes por séculos, mas no final cai por terra e a verdade vem à tona. Parabéns Evariste Galois (eterno pela obra).
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Prof. Sérgio Torres