MATEMÁTICA PARA LEIGOS - SISTEMA DE NUMERAÇÃO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - AULA 001

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Tudo indica que a espécie humana sempre foi dotada de certo senso numérico inato. Assim, supõe-se que mesmo o mais primitivo de nossos antepassados era capaz de perceber a variação para mais ou para menos em uma pequena coleção de objetos quando acrescida ou subtraída de alguns poucos elementos. Até porque alguns animais parecem ser capazes disso: o avestruz, por exemplo, "conta" seus ovos.

Mas daí a captar a noção de número, ou seja, ter a capacidade de responder a perguntas do tipo "Quantos...?", vai uma distância enorme. Que povo foi o primeiro a formular esse tipo de pergunta e quando teria isso acontecido são questões que certamente nunca serão esclarecidas. Mas uma coisa se sabe com certeza: o processo para chegar a esse nível de abstração foi muito longo e tortuoso. Pois enquanto alguns povos, como os egípcios e os babilônios, por exemplo, alcançaram esse estágio há cerca de 5 mil anos, algumas tribos estudadas por antropólogos no século XX mal sabiam contar "um", "dois", "muitos".

A pergunta "Quantos...?" sempre se prende a uma determinada coleção de objetos ou seres, mas o número que exprime a resposta não diz respeito apenas a essa coleção. A qualquer outra coleção cujos elementos possam ser postos em correspondência um a um com a coleção dada associa-se o mesmo número. Quando se diz, por exemplo, que uma equipe de futebol tem onze jogadores, não há necessidade de pensar nesta ou naquela equipe em particular para entender o que foi dito.

Mas certamente não foi num estalo que a espécie humana percebeu essa característica fundamental da ideia de número. Uma prova disso é que há vestígios de uma fase em que possivelmente a natureza dos objetos ou seres de uma coleção pode ter influído na escolha da palavra-número usada para responder à pergunta "Quantos...?". Isso pode ser notado na nossa língua, por exemplo, na palavra junta, que parece ter uma conotação específica para indicar um par de bois, assim como parelha parece ser específica para designar um par de cavalos ou burros. Na língua polonesa há um exemplo em que essa diferenciação é mais nítida. Nessa língua:

dwaj = dois homens

dwie = duas mulheres           

dwoje = um homem e uma mulher

dwa = par de objetos inanimados ou de animais

Conforme foi se tornando necessário lidar com conjuntos cada vez maiores, o processo de contar teve de ser organizado, o que pode ter começado a acontecer já em épocas pré-históricas. De fato, é isso que parece indicar uma tíbia de lobo descoberta na Tchecoslováquia em 1937 por Karl Absolon. Nesse osso, que data de uns 30 mil anos atrás, encontram-se gravados 55 cortes transversais divididos em grupos de 5, estando ainda os 25 primeiros separados dos outros por um corte duplo.

Embora não se tenha certeza, é bem possível que esses cortes tenham sido feitos por um homem primitivo para ter um registro, mediante uma correspondência um a um, de alguma coleção de objetos que ele estava contando. E, admitindo-se essa interpretação, o arranjo dos cortes em grupos de 5 e de 25 (embora, nesse caso, de maneira incompleta) indicaria uma compreensão rudimentar da ideia de base de um sistema de numeração — no caso, base 5. Num sistema de numeração de base 5 completo, cinco unidades simples formam uma unidade de segunda ordem, cinco unidades destas formam uma unidade de terceira ordem, e assim por diante. Assim como no nosso sistema de numeração dez unidades formam uma dezena, dez dezenas uma centena, e assim por diante. Essa ideia pode ser generalizada para qualquer número maior que 1.

Evidentemente uma escolha de base 5 tem sua origem no processo de contar pelos dedos. O mesmo se poderia dizer dos sistemas de numeração de base 10 (o nosso, por exemplo) e de base 20. Mas, ao longo da história, outras bases foram usadas. Os babilônios desenvolveram um sistema de base 60, do qual há ainda vestígios entre nós — na medida do tempo e na de ângulos. Um estudo envolvendo várias centenas de tribos americanas revelou a predominância das bases 5,10 e 20, principalmente a decimal, mas mostrou também que algumas tribos usavam a base 2 (pouco menos de um terço) e outras a base 3 (cerca de um por cento).

Essa variedade de sistemas de numeração é uma demonstração da criatividade do espírito humano, mesmo em épocas muito remotas.

Reflita sobre a leitura

1. É possível dizer em que momento exato da história a espécie humana adquiriu a noção de número?

2. Qual é a diferença entre a noção de número e a quantidade de objetos de uma coleção qualquer?

3. Por que os homens do passado sentiram a necessidade de registrar os primeiros números?

4. Explique com suas próprias palavras o que você entendeu por "base de um sistema de numeração". Que vantagem teria o homem primitivo em utilizar uma base?

5. Quantas bases diferentes de sistemas de numeração podem existir? Quais as bases utilizadas com maior frequência?

Matemática e Realidade - Gelson Iezzi 

A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS

A criação do sistema de numeração foi feita pelos seres humanos que levaram centenas e até milhares de anos para chegar ao sistema que hoje nós achamos naturais. Embora, todos os sistemas anteriores fossem “naturais” para os habitantes de determinadas épocas. Por isso que existem, até hoje, sistemas diferentes e até estranhos para nosso entendimento.

A numeração dos romanos utilizavam letras para simbolizar a contagem:

I – valia uma unidade

V – valia cinco unidades

X – representava dez unidades

L – indicava cinquenta unidades

C – valia cem unidades

D – representava quinhentas unidades

M – indicava mil unidades.

E para representar outros valores representavam-se com a colocação de símbolos uns ao lado dos outros, por exemplo:

II – significava 1 + 1 = 2

XXX – representava 10 + 10 + 10 = 30

CCC – indicava 100 + 100 + 100 = 300

Para que não ficasse de forma extensa números maiores eram representados pela subtração, por exemplo:

IV – significava 5 -1 = 4

XL – representava 50 – 10 = 40

XC – era a forma de representar 100 – 10 = 90

Enquanto que para representar números maiores deveria se colocar dessa forma:

LX – significava 50 + 10 = 60

CCXXX – representava 200 + 30 = 230

DC – indicava 500 + 100 = 600

Para indicar valores maiores que 4000, coloca-se um traço horizontal sobre as letras, o que corresponde aos milhares.

Obs.: Já dá pra notar que as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão não era muito prática nesse sistema de numeração. E ainda algumas incongruências, por exemplo: como podemos representar 49? Pense um pouco e vamos utilizar, primeiramente a lógica. O número 49 é uma unidade antes do 50, portanto seria lógico representarmos por IL que seria 50 – 1 = 49 correto? Mas, não se representa assim. Primeiro representamos o 40 (XL) e depois o nove (IX), então ficamos com 49 = ILXL. O que não é nada prático, você há de concordar.

A numeração dos hindus atribuíram símbolos para representar os algarismos e como foram divulgados pelos árabes ficaram conhecidos como algarismos indo-arábicos. Lembre-se que foram introduzidos dez símbolos para representar os algarismos que no sistema decimal é suficiente, já que esse sistema agrupa a contagem de 10 em 10.

Assim como no sistema decimal não existe o algarismo para representar o 10, esse é representado pelos algarismos 1 e 0, tendo o algarismo 1, como colocado à esquerda significa um conjunto de dez unidades ou uma dezena, se tivéssemos utilizando uma contagem de 5 em 5 não teríamos o algarismo 5, pois nesse sistema 10 significa um agrupamento de 5. Ficou complicado? Vejamos:

Na sistema de 10 em 10 utilizamos os algarismos (símbolos) até 9, de 0 a 9, então na contagem temos 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7, 8, 9 ................. e agora? Para representarmos o agrupamento de dez unidades não utilizamos nenhum símbolo a mais, simplesmente deslocamos o algarismo 1 para a esquerda e colocamos um 0 à direita, perfazendo assim a representação de um conjunto de dez unidades ou uma dezena: 10.

Se tivéssemos contando num sistema de 5 em 5, não teríamos da mesma forma o algarismo (símbolo) que representasse o 5, uma vez que 5 já seria um conjunto de 5 unidades, portanto no sistema quinário teríamos 1, 2, 3, 4....................... e agora? Para representarmos o agrupamento de cinco unidades não utilizamos nenhum símbolo a mais, simplesmente deslocamento 1 para a esquerda e colocamos um 0 à direita, perfazendo, assim, a representação de um conjunto de cinco unidades.

Observação: Da mesma forma que dividindo o número 40 por 10 no sistema decimal, onde temos 4 dezenas e dividindo por uma dezena obtemos 4 unidades, ou seja, 4 conjunto de 10 unidades, no sistema quinário se dividirmos 40 por 10, também obtemos 4!!!!! Pois 40 significa 4 conjuntos de 5, dividindo por 10 que é um conjunto de 5, obtermos 4. É lógico né, pois 40 são 4 conjuntos de dez no sistema decimal, ao  passo que 40 são 4 conjuntos de 5 no sistema quinário.

Da mesma forma que você está careca de saber as operações no sistema decimal, este é apenas um sistema de numeração que você foi acostumado, você poderia estar acostumado a quaisquer outros sistemas de numeração, e por incrível que pareça quando você soma 59 minutos mais 1 minuto, você sabe que pode simplesmente substituir 59min+1min por 60min ou simplesmente 59min + 1min = 1h, concorda que o que é óbvio para você, para quem lida com outros sistemas de numeração não é tão óbvio assim? Vale à pena citar a linguagem de computador que utiliza o sistema binário, no qual existem apenas dois algarismos (1 ou 1) ou o sistema hexadecimal que utiliza 16 algarismos (símbolos) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, ou seja a representação de 16 em decimal é 10 em hexadecimal, ou seja, um conjunto de dezesseis. Já pensou fazer cálculos nesse sistema de numeração? Pois é, os computadores que estão na ponta dos seus dedos no seu celular só trabalham assim, acredite se quiser. 

EXERCÍCIOS COM GABARITOS OU COM COMENTÁRIOS OU COM VÍDEO-AULAS OU PROPOSTAS (DEIXE NOS COMENTÁRIOS)

(OBS.: NSU – SIGNIFICA: NÚMERO SEQUENCIAL ÚNICO)

NSU-000001 

Na Roma antiga, um pedreiro precisa fazer os números dos pórticos. Vamos ajudá-lo, escrevendo com numerais romanos as seguintes quantidades:

NSU-000002 

O trecho a seguir não tem sentido. Ajude a organizá-lo, colocando os numerais romanos em ordem crescente, do menor para o maior.

Resposta: A primeira mulher astronauta foi Valentina V. Teréshkova. Em 16/6/1963, tripulando a nave Vostok VI, ela realizou um vôo de 48 órbitas em torno da Terra.

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