Como foi deduzida a equação mais famosa da física? E = m.c²

Como foi deduzida a equação mais famosa da física? E = m.c²

                  Einstein imaginou um experimento com base no qual podemos deduzir que E = m.c².

A ideia consiste num cilindro oco, de massa M e comprimento L, inicialmente em repouso, e que emite um pulso luminoso de massa m no ponto P1, situado na base da esquerda. O pulso percorre o interior oco do cilindro e é reabsorvido, no ponto P2, na base da direita. 

Considerando o sistema mecanicamente isolado, pelo princípio da conservação da quantidade de movimento do sistema, ao emitir o pulso o cilindro recua de uma quantidade x. Depois, ao reabsorver o pulso, pelo mesmo princípio, o cilindro para e fica em repouso outra vez. Para simplificar nosso tratamento matemático, como tudo acontece numa única direção, vamos trabalhar apenas com os módulos dos vetores, ou seja, com as partes escalares. O sentido de cada vetor, para esquerda ou para direita, será dado pelo sinal "mais" ou "menos", respectivamente.

Vamos considerar dois momentos: "antes" e "depois" da emissão do pulso.

Antes da emissão:

A quantidade de movimento do sistema é nula já que tudo está parado. Portanto:

Qantes = 0

Depois da emissão:

O cilindro, que perdeu uma massa m, recua para a esquerda, com velocidade v e massa M - m. Assim terá uma quantidade de movimento orientada para a esquerda (positiva) com valor:

Qcilíndro=(M – m)v

O pulso, de massa m, avança para a direita, com velocidade c. Dessa forma terá uma quantidade de movimento para a direita (negativa) que, de acordo com a teoria eletromagnética de James C Maxwell, vale:

Qpulso = - E/c

Então:

Qdepois = Qantes Þ Qdepois = Qcilindro + Qpulso

(M – m).v – E/c = 0              (Equação 1)

O tempo de recuo do cilindro é:

Dtcilindro = DScilindro/Vcilindro

Enquanto o cilindro recua x, o pulso percorre uma distância L - x, com velocidade c, até ser reabsorvido. Então, o tempo de viagem do pulso entre P1 e P2 será:

Dtpulso = DSpulso/Vpulso= (L - x)/c

O tempo de recuo do cilindro é igual ao tempo do percurso do pulso entre as paredes do cilindro. Então:

Dtcilindro = Dtpulso

Logo:

x/v = (L – x)/c

Assim:

v = (c.x)/(L – x)                               (Equação 2)    

Utilizando as equações 1 e 2 temos:

E = (M –m).c².x/(L – x)                  (Equação 3)

            O cilindro e o pulso trocam forças internas e por isso o sistema é mecanicamente isolado. Sendo assim, cilindro e pulso deslocam-se em sentidos opostos mas o centro de massa do sistema que estava inicialmente parado tem que continuar parado.

            Há um deslocamento de massa (M – m) do cilindro para a esquerda de uma quantidade DScilindro = x. Também ocorre um deslocamento da massa m do pulso para a direita de uma quantidade de DSpulso = L – x. Uma coisa deve compensar a outra, sem alterar o centro de massa. Assim:

(M – m).x = m.(L – x)                      (Equação 4)

Finalmente, utilizando a equação 4 na equação 3 e simplificando obtemos a famosa equação de equivalência entre massa e energia:

E = m.c²