Frações
A ideia de operação matemática, inclusive a de divisão, já aparece bem formulada em alguns escritos matemáticos muito antigos. Para ilustrar essa observação nos valeremos do papiro Rhind, a mais importante fonte de informações sobre a Matemática egípcia antiga. Datado de 1750 a.C, aproximadamente, esse documento é assim chamado em homenagem ao antiquário escocês A. Henry Rhind, que o adquiriu em Luxor, no Egito, em 1 858.
O conteúdo desse papiro, que atualmente faz parte do acervo do Museu de Londres, é formado de 85 problemas práticos, com enunciados e respostas, sobre aritmética, geometria e álgebra.
Vejamos o enunciado do problema 3:
Repartir 6 pães entre 10 pessoas.
E claro, primeiro, que problemas dessa natureza aparecem na Matemática de todas as civilizações antigas, por mais que recuemos no tempo. É claro também que a ideia usada por todas essas civilizações para resolvê-los é a mesma que usaria hoje um estudante de qualquer parte do mundo: dividir 6 por 10.
Mas, se essa ideia independe da época e da civilização, o mesmo não se pode dizer do processo de divisão, assim como da maneira de exprimir o resultado. Modernamente, por processos bem conhecidos, daríamos como resposta para essse problema .ou a fração comum 3/5 (três quintos de um pão) ou a fração decimal 0,6 (seis décimos de um pão). Mas a resposta dada no papiro, passada para numerais indo-arábicos, é 1/2 + 1/10 (meio pão mais um décimo de pão). Como se pode notar efetuando a adição indicada, essa resposta é correta, apesar de estranha.
O uso dessas duas frações de numerador 1 (frações unitárias) para exprimir a resposta não é ocasional. Primeiro, porque os egípcios
só usavam frações comuns. Depois, porque, afora a fração 2/3 eles só usavam frações unitárias. E qual a razão disso? Não se sabe, mas provavelmente porque essas frações pareciam mais naturais para eles. E como chegavam a essas frações unitárias nas divisões não exatas? Por procedimentos variados, que mostram muita habilidade computacional.
A grande preferência pelas frações unitárias, se refletiu na maneira como os egípcios escreviam as frações. O "numerador" dessas frações era subentendido, e eles escreviam apenas o "traço de fração" (em hieróglifos, uma boca aberta
Os chineses, por volta do século III a.C, já trabalhavam com frações comuns, como se nota numa obra da época. Inclusive operavam com esses números usando técnicas semelhantes à nossa. Por exemplo, para somar frações achavam o mínimo múltiplo comum dos denominadores sempre que necessário. Numa obra posterior encontra-se o primeiro registro na história da Matemática do uso de frações decimais. Assim, os chineses, que foram os pioneiros no uso de um sistema de numeração decimal do tipo do nosso, foram também os primeiros a usar frações decimais. Para ter uma ideia do quanto eles saíram na frente nesse assunto, basta dizer que no Ocidente as frações decimais só passariam a ser usadas correntemente a partir do século XVI.
Na Grécia antiga, a ideia de fração como um número autêntico demorou muito a ser aceita. Para os matemáticos gregos, apenas os elementos da sucessão 2, 3, 4, 5,... eram considerados números. Ou seja, apenas os números naturais maiores que ou iguais a 2, como diríamos hoje. O 1 era o gerador de todos os números. Como na Matemática as frações e suas aplicações são imprescindíveis, o que eles faziam para preencher esse vazio? Engenhosamente eles as substituíam por "razões".
Foram ainda os gregos os responsáveis pela introdução das frações sexagesimais hoje usadas na medida do tempo e de ângulos. A ideia foi emprestada da Babilónia, onde o sistema de numeração era de base 60, para ser usada na astronomia. E sobreviveu até os nossos dias graças à enorme influência que tiveram alguns astrónomos gregos, especialmente Cláudio Ptolomeu (século II d.C), cujo sistema geocêntrico dominou a astronomia até o século XVI.
Reflita sobre a leitura
1. De que maneira um historiador da ciência pesquisa hoje o conhecimento matemático de civilizações desaparecidas no tempo, como a dos egípcios?
2. Se um egípcio fosse dividir 2 pães entre 3 pessoas, possivelmente ele representaria a parte de cada um assim:
Com a nossa notação, como se exprime esse numeral?
3. Como faziam os gregos do período clássico para preencher o vazio da inexistência de frações autênticas em sua matemática? Dê um exemplo.
4. O texto menciona quatro grandes civilizações: a do Ocidente, da qual fazemos parte hoje, a do Egito antigo, a da China e a da Grécia antiga. Na época em que o papiro Rhind foi escrito no Egito (cerca de 1750 a.C), qual a única entre essas culturas que conhecia as frações decimais?
Forte abraço,
Prof. Sérgio Torres
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