Por Evelyn Lamb
Todo ano, 8 de dezembro, Julia Robinson apaga as velas em seu bolo de aniversário e faz o mesmo desejo: que algum dia ela saiba a resposta para o décimo problema de Hilbert. Embora ela tenha trabalhado no problema, ela não se importava em cruzar a linha de chegada. "Eu senti que não aguentaria morrer sem saber a resposta", disse ela à irmã.
No início de 1970, apenas alguns meses após seu aniversário de 50 anos, o desejo de Robinson se tornou realidade. O matemático soviético Yuri Matiyasevich anunciou que havia resolvido o problema, um dos 23 desafios colocados em 1900 pelo influente matemático alemão David Hilbert.
Matiyasevich tinha 22 anos, nasceu na época em que Robinson começou a pensar no décimo problema. Embora os dois ainda não tivessem se conhecido, ela escreveu a Matiyasevich logo após descobrir sua solução: "Estou especialmente satisfeito em pensar que, quando fiz a conjectura pela primeira vez, você era um bebê e só tive que esperar que você crescesse!"
A conjectura à qual Robinson estava se referindo foi uma de suas contribuições para a solução do décimo problema de Hilbert. Matiyasevich colocou a última peça no quebra-cabeça, mas Robinson e dois outros matemáticos americanos fizeram um trabalho crucial que o levou até lá. Apesar das três semanas que demoraram para as cartas chegarem, Robinson e Matiyasevich começaram a trabalhar juntos pelo correio no outono de 1970. "O nome de Julia Robinson não pode ser separado do décimo problema de Hilbert", escreveu Matiyasevich em um artigo sobre a colaboração deles.
Robinson foi a primeira mulher a ser eleita para a seção de matemática da Academia Nacional de Ciências, a primeira mulher a servir como presidente da Sociedade Americana de Matemática e recebedora de uma bolsa de estudos MacArthur. Ela conseguiu tudo isso, apesar de não ter recebido uma posição oficial do corpo docente até cerca de uma década antes de sua morte em 1985.
Robinson nunca se considerou uma pessoa brilhante. Ao refletir sobre sua vida, ela se concentrou na paciência que a serviu tão bem como um matemático, que ela atribuiu em parte a um período de intenso isolamento quando criança. Aos 9 anos, enquanto morava com sua família em San Diego, ela contraiu escarlatina, seguida por febre reumática.
A penicilina havia sido descoberta e ainda não estava disponível como tratamento. Em vez disso, ela morou na casa de uma enfermeira por um ano, faltando dois anos de escola.
Mesmo depois que ela voltou à família, frequentou a faculdade e se casou, as complicações da febre reumática levaram a problemas de saúde ao longo da vida, incluindo a incapacidade de ter filhos. Depois que uma gravidez muito procurada terminou em aborto, os médicos disseram que outra gravidez poderia matá-la. Ela teve uma operação cardíaca aos 40 anos de idade que melhorou sua saúde, mas nunca conseguiu ter a família que desejava profundamente.
Apesar de suas realizações, Robinson relutava em ser o centro das atenções, apenas consentindo em contar sua história para publicação perto do fim de sua vida. As citações atribuídas a Robinson neste artigo vêm desse registro, uma "autobiografia" escrita por sua irmã mais velha, Constance Reid, em estreita consulta com Robinson.
Hilbert lançou o primeiro de seus 23 desafios para a comunidade matemática durante uma palestra em Paris no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900. As perguntas, que ajudaram a guiar o curso da pesquisa em matemática para o próximo século e até os dias atuais, abrangeram várias disciplinas em matemática, investigando tudo, desde os fundamentos lógicos de vários ramos da matemática até problemas muito específicos relacionados à teoria dos números ou geometria.
O décimo problema é uma questão profunda sobre as limitações do nosso conhecimento matemático, embora inicialmente pareça um problema mais direto na teoria dos números. Trata-se de expressões conhecidas como equações diofantinas. Nomeado para Diofante de Alexandria, um matemático helenístico do terceiro século que estudou equações dessa forma em seu tratado Aritmética, uma equação diofantina é uma equação polinomial com qualquer número de variáveis e coeficientes que são inteiros. (Um número inteiro é um número inteiro, positivo, negativo ou zero.)
Tudo sobre números inteiros
Os três círculos à direita representam as equações diofantinas x² + y² = 1 (preto), x² + y² = 2 (azul) e x² + y² = 25 (laranja). Todos os três têm soluções inteiras (marcadas como pontos pretos, onde os círculos cruzam interseções de linhas de grade). No entanto, existem algumas equações diofantinas sem soluções inteiras. E para outros, os matemáticos ainda não sabem se existem soluções inteiras.
Exemplos de equações diofantinas incluem tudo, desde equações lineares simples como 5x + y = 7 (as variáveis são xey, e seus coeficientes são 5 e 1) até a fórmula da distância pitagórica a² + b2²= c² (as variáveis são a, b e c, e seus coeficientes são todos 1) a monstruosidades imponentes em googóis de variáveis.
Os matemáticos estão interessados em saber se as equações diofantinas têm soluções que também são números inteiros. Por exemplo, triplos pitagóricos - conjuntos de números como 3, 4 e 5 ou 5, 12 e 13 - são soluções para a equação a² + b² = c². Algumas equações diofantinas têm soluções inteiras e outras não. Enquanto a² + b² = c² tem infinitas soluções inteiras, a equação semelhante a² + b² = c² não tem nenhuma (exceto as soluções que incluem zeros, que os matemáticos consideram desinteressantes).
Se uma equação tem soluções inteiras, você não precisa ser particularmente inteligente para encontrá-las - você só precisa ser paciente. Uma busca por força bruta acabará fornecendo números que funcionam. (É claro que ser mais inteligente pode significar que você pode ser menos paciente.) Mas se você não sabe se a equação pode ser resolvida em números inteiros, nunca saberá se sua falha em encontrar uma solução é porque não existe ou porque você não foi paciente o suficiente.
No início deste outono, os matemáticos Andrew Booker, da Universidade de Bristol, na Inglaterra, e Andrew Sutherland, do MIT, anunciaram que haviam usado uma mistura de algoritmos inteligentes e um supercomputador poderoso para descobrir que 42 = −80.538.738.812.075.974³ + 80.435.758.145.817.515³ + 12.602.123.297.335.631³ . Em outras palavras, a equação diofantina x³ + y³ + z³ = 42 tem uma solução inteira.
Somando os cubos
Por mais de um século, os matemáticos têm procurado soluções inteiras para a equação x³ + y³ + z³ = k, onde k é um número inteiro positivo (como 1, 2, 3 ...). Em 1955, foram encontradas soluções para 69 números (azul) iguais ou inferiores a 100, com outros 22 (vermelhos) conhecidos por não terem soluções. Encontrar soluções para os nove números restantes abaixo de 100 (destacadas em azul abaixo no ano em que foram encontradas) levou até este ano.
Este é um caso da questão mais geral sobre a qual inteiros n podem ser escritos como a soma de três cubos inteiros: x³ + y³ + z³ = n. Quarenta e dois foi o último número de dois dígitos para o qual os matemáticos não sabiam se havia uma solução, mas infinitamente mais números aguardam soluções inteiras, se existirem.
O que Hilbert se perguntou no seu décimo problema era como saber se uma equação tem soluções inteiras ou não. Existe um algoritmo - um processo final que produza uma resposta sim ou não - que pode determinar se uma determinada equação diofantina tem uma solução desse tipo?
Grande parte do apelo do décimo problema e questões relacionadas é pura curiosidade. Esses polinômios geralmente muito simples têm soluções inteiras? Por que ou por que não? As respostas geralmente não têm aplicações práticas concretas, mas a área de pesquisa está relacionada de maneiras profundas à ciência da computação teórica e aos limites do que programas de computador podem fazer.
Incognoscibilidade
O interesse de Robinson no décimo problema de Hilbert começou bastante cedo no que era uma carreira matemática atípica. Ela se casou com Raphael Robinson, matemático da Universidade da Califórnia, Berkeley, pouco tempo depois de se formar na universidade com um diploma de bacharel em matemática. As regras antinepotismo da UC Berkeley a proibiam de trabalhar em seu departamento. (Sua situação não era incomum para as mulheres na academia nas décadas de 1940 e 1950.) Depois de obter seu doutorado. em matemática em 1948, também na UC Berkeley, trabalhou na indústria e fora de seu campo por alguns anos e se ofereceu para as campanhas presidenciais da candidata democrata Adlai Stevenson. Ela também trabalhou como membro não oficial do departamento de matemática da UC Berkeley, usando o escritório de Raphael e, ocasionalmente, dando aulas.
Embora ela não tivesse a estabilidade ou o salário de uma posição oficial do corpo docente, ela publicou em revistas de matemática, tanto individualmente quanto com colaboradores, e apresentou seu trabalho em conferências, muitas vezes trazendo uma bicicleta. Tornou-se uma ciclista ávida após a cirurgia cardíaca, encantada com sua capacidade de se exercitar após anos de perpetuidade.
Quando ela foi eleita para a Academia Nacional de Ciências em 1976, a assessoria de imprensa da universidade teve que ligar para o departamento de matemática para perguntar quem era Julia Robinson. UC Berkeley rapidamente a transformou em professora titular. Robinson escreve: "Para ser justo com a universidade, devo explicar que, por causa da minha saúde, mesmo após a operação cardíaca, eu não seria capaz de carregar uma carga de ensino em tempo integral".
Logo depois que ela se formou com seu Ph.D., seu orientador, Alfred Tarski, mencionou um problema a Raphael, que por sua vez contou a Julia. Esse problema específico envolvia conjuntos diofantinos, grupos de números inteiros que, quando substituídos por uma variável em alguma equação diofantina, permitiam soluções inteiras em outras variáveis. Considere a equação c − x² = 0, que tem soluções inteiras para x somente quando c é um quadrado perfeito. Assim, os quadrados perfeitos formam um conjunto diofantino. O problema que Raphael falou para Julia era determinar se os poderes de 2 - 2, 4, 8, 16 e assim por diante - formam um conjunto diofantino. Através de seu trabalho nessa questão, ela encontrou o caminho para o 10º problema.
Robinson conheceu Martin Davis, então instrutor da Universidade de Illinois em Urbana-Champaign, em 1950. "Começou com o trabalho no mesmo problema, mas em direções absolutamente opostas", diz Davis, agora com 91 anos. olhando para conjuntos diofantinos. Davis estava começando geralmente, tentando mostrar que todos os conjuntos com uma propriedade específica chamada listabilidade eram diofantinos. Robinson estava começando do particular, tentando mostrar que alguns sets especiais - incluindo números primos e os poderes de 2 nos quais ela estava trabalhando - eram diofantinos.
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