Cauchy e Weierstrass: o Rigor Chega ao Cálculo

O cálculo, tal como foi deixado por Newton e Leibniz, carecia quase totalmente de estruturação lógica. E nos 150 anos seguintes muito pouco mudou quanto a esse aspecto. Embora houvesse consciência, em todo esse tempo, da necessidade de demonstrações e justificativas, estas frequentemente não correspondiam aos padrões atuais de rigor, apelando demasiado para a intuição geométrica.

Assim é que por muito tempo a confiança no cálculo derivava sobretudo de sua eficácia. Um episódio envolvendo o matemático e astrônomo Edmund Halley (1656-1742) e o bispo George Berkeley (1685-1753) ilustra bem essa situação. 

O primeiro, talvez movido por concepções materialistas inspiradas na ciência da época (em que o cálculo tinha papel especial), teria convencido alguém em seu leito de morte a recusar o consolo espiritual que lhe seria ministrado por Berkeley. Este, exímio polemista, expressou sua irritação num livro de 1734 intitulado O analista: ou um discurso dirigido a um matemático infiel, no qual provou de forma irrefutável que o cálculo àquela altura era, tanto quanto a religião, matéria de fé. 

Pois certamente não havia explicação para o fato de Newton, no seu Quadratura de curvas, operar algebricamente seguidas vezes com um incremento h e, ao fim, considerar nulos todos os termos envolvendo h (agora igualado a zero). E tampouco para aceitar que a razão dy/dx entre as diferenciais, segundo conceito de Leibniz, expressava a inclinação da tangente, e não a da secante (ver figura).

 O desprezo das diferenciais superiores, sem nenhuma explicação convincente, levando a resultados correios, ensejava a Berkeley a observação "em virtude de um erro duplo chega-se, ainda que não a uma ciência, pelo menos a uma verdade".

D'Alembert (1717-1783), que em algum momento teria declarado "avante, e a fé lhe virá", sugerindo como enfrentar os mistérios do cálculo na época, vislumbrava porém que para sair desse estado era preciso estabelecer um método de limites.

Em 1784, a Academia de Ciências de Berlim instituiu um concurso, cujo prêmio seria conferido dois anos depois, sobre o problema do infinito em matemática. O edital manifestava o desejo da Academia de uma explanação sobre o porquê de muitos teoremas corretos serem "deduzidos de suposições contraditórias". O vencedor foi o suíço Simon L'Huillier, com o trabalho Exposição elementar do cálculo superior. Mas L'Huillier, que introduziu a notação dP/dx=lim (DP/Dx) para a derivada, pouca luz trouxe ao problema. 

Seria só no século XIX, especialmente graças aos esforços de Augustin - Louis Cauchy (1789-1857) e Karl Weierstrass (1815-1897), que o assunto seria fundamentado com rigor.

Natural de Paris, Cauchy estudou na Escola Politécnica e, a despeito de seu grande talento para a ciência pura, chegou a encetar uma promissora carreira de engenheiro, abandonada em 1815 por razões de saúde. Nesse mesmo ano inicia-se como professor na Escola Politécnica — afinal, a essa altura, seu currículo já exibia vários trabalhos de valor no campo da matemática, o primeiro de 1811. No ano seguinte aceita sua indicação para a Academia de Ciências, mesmo sendo para o lugar de Monge, excluído por razões políticas. Mas era coerente: em 1830, com a expulsão de Carlos X, exila-se voluntariamente; já de volta à França há cerca de dez anos, em 1848 passa a ocupar uma cadeira na Sorbonne, da qual é excluído em 1852 por sua recusa em jurar fidelidade ao governo (em 1854 foi readmitido sem essa exigência).

Cauchy deixou cerca de 800 trabalhos entre livros e artigos, cobrindo quase todos os ramos da matemática, um feito talvez só superado por Euler. Mas suas contribuições mais significativas estão na área do cálculo e da análise, sempre pautadas pela preocupação com o rigor e a clareza. Um exemplo disso está na sua abordagem das séries, com o cuidado que dispensou à questão da convergência.

Seu Curso de análise, um livro-texto feito para a Escola Politécnica, apresenta a primeira definição aritmética de limite. A precisão com que dela decorrem conceitos básicos como os de continuidade, diferenciabilidade e integral definida seguramente marca o início do cálculo moderno. Mas Cauchy recorria com frequência a expressões como "aproximar-se indefinidamente" e "tão pequeno quanto se deseje", por exemplo, o que precisava ser quantificado convenientemente. Esse trabalho seria feito por Weierstrass.

Natural do povoado de Ostenfeld (Alemanha), Weierstrass era filho de um inspetor de alfândega autoritário que desejava vê-lo num alto posto administrativo — tanto mais que sua passagem pela escola secundária fora brilhante. Mas Weierstrass não deu essa alegria ao pai, embora tivesse ficado de 1834 a 1838 em Bonn matriculado no curso indicado (leis, que afinal não concluiu). Em 1839 habilitou-se para o ensino médio de Matemática em curso intensivo no qual teve como professor C. Guderman (1798-1852), especialista em funções elípticas, seu grande inspirador.

Paralelamente ao exercício do magistério secundário, Weierstras

lançou-se à pesquisa. E seus trabalhos pouco a pouco foram-no fazendo conhecido: em 1855 obtinha um doutorado honorário na Universidade de Kõnigsberg e em 1856 tornou-se professor da Universidade de Berlim, onde ensinaria nos 30 anos seguintes.

Weierstrass publicou pouco, comparado a Cauchy. Mas sua obra distingue-se pela qualidade e, em especial, pelo rigor. Os últimos resquícios de imprecisão que ainda acompanhavam os conceitos centrais do cálculo, como o de número real, função e derivada, por exemplo, foram eliminados por ele. No que se refere à teoria dos limites, sua grande arma foi a notação

A razão finalmente se impunha à fé.


Prof. Sérgio Torres 

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