Física, Matemática, Músicas, Filmes e Atualidades: Menaecmus, Apolônio e as Secções Cônicas

quarta-feira, 27 de fevereiro de 2019

Menaecmus, Apolônio e as Secções Cônicas - Física Século 21

No século IV a.C, quando violenta peste assolava Atenas, os moradores da cidade resolveram aconselhar-se com o oráculo de Delos. Este lhes sugeriu que o altar a Apolo na ilha, que era cúbico, deveria ser dobrado. Os atenienses se apressaram em construir um outro, com o dobro das dimensões do anterior. Ora, se as dimensões do altar mediam x e passaram a 2x, o volume do altar passou de x³ para (2x)³ = 8x³ — ou seja, octoplicou. Consta que a peste se intensificou e os atenienses decidiram, então, consultar os matemáticos da academia de Platão sobre como determinar as dimensões que atendessem à recomendação do oráculo. Estava surgindo assim o problema da duplicação do cubo que, no fundo, consiste em construir um segmento de reta cuja medida seja raiz cúbica de 2.

Menaecmus, um discípulo de Eudóxio e membro da Academia de Platão, ocupa um lugar especial entre os matemáticos que se propuseram a resolver esse problema. É que, além de lograr êxito em sua empreitada, o caminho que tomou propiciou-lhe a descoberta das secções cónicas: elipse, parábola e hipérbole (a primeira, na verdade, como um subproduto de seu trabalho). Em notação moderna é fácil concluir que a interseção da parábola y=x² com a hipérbole xy = 2 é o ponto de abscissa raiz cúbica de 2.

Mas, Menaecmus não dispunha do recurso de uma notação algébrica, posto que a matemática grega de sua época era essencialmente geométrica. E introduziu essas curvas usando três tipos de superfícies cônicas ilimitadas de uma folha: com secção meridiana aguda, reta ou obtusa. Interceptando cada superfície dessas com um plano perpendicular a uma de suas secções meridianas, obtinha respectivamente uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. A figura mostra o primeiro desses casos.

Fica evidente a partir dessa definição o porquê da designação secções cónicas para essas curvas. Mas os nomes elipse, parábola e hipérbole seriam introduzidos por Apolônio de Perga (c. 262-190 a.C).

Natural de Perga, colônia grega ao sul da Ásia Menor, Apolônio estudou matemática em Alexandria, onde passou também algum tempo ensinando. Ensinou ainda em Pérgamo, cuja biblioteca, na época, somente era excedida pela de Alexandria. Conhecido como "o grande geômetra", sua obra maior é Secções cónicas, em oito livros, dos quais restaram os sete primeiros.

Ao contrário de Menaecmus, Apolônio obtinha todas as secções cónicas numa única superfície cónica circular genérica de duas folhas, mediante inclinações convenientes dos planos de secção.

Assim, através de um estudo integrado dessas curvas, conseguiu em sua obra resultados de grande alcance e originalidade. De fato, Secções cônicas, em suas 487 proposições, praticamente esgota o assunto sob o ponto de vista teórico e, com justa razão, é considerado o ponto alto da geometria grega.

Dentre os livros restantes, o mais notável talvez seja o quinto, cujo objeto é a determinação de distâncias máximas e mínimas de um particular ponto à cônica. Por exemplo, se X é um desses pontos e se XP é uma distância máxima ou mínima a uma cônica, então a reta perpendicular a XP em P é tangente à cónica.

Apolônio buscou os nomes elipse, parábola e hipérbole na matemática da escola pitagórica, no problema da aplicação das áreas em suas três formas: por falta (elipse), simples (parábola) e por excesso (hipérbole). De fato, em coordenadas as três curvas admitem uma equação geral da forma y² = 2px + qx²(p > 0). O caso q < 0 fornece elipses; o caso q = 0, parábolas; e q > 0, hipérboles. Embora sem usá-las, Apolônio tinha o sentido das coordenadas.