Física, Matemática, Músicas, Filmes e Atualidades: Descartes, o Primeiro Filósofo Moderno, e a Geometria Analítica

quarta-feira, 27 de fevereiro de 2019

Descartes, o Primeiro Filósofo Moderno, e a Geometria Analítica

Ao iniciar-se o século XVII a geometria ainda representava o grosso da matemática. E na geometria, a contribuição de Euclides, que não ultrapassava as figuras envolvendo a reta e o círculo, predominava soberanamente. Além do mais, a geometria grega, carecendo de métodos gerais, "só exercitava o entendimento ao custo de fatigar enormemente a imaginação", conforme palavras de Descartes.

A época porém era de profundas transformações científicas e tecnológicas, razão pela qual impunha-se uma matemática mais integrada e operacional. O primeiro grande passo nesse sentido foi a associação da álgebra (que já vinha progredindo por si) com a geometria, empreendida independentemente por Fermat e Descartes, embrião da atual geometria analítica.

René Descartes (1596-1650) nasceu em La Haye, pequena cidade a sudoeste e a cerca de 300 km de Paris, província de Touraine. Seu pai, membro da pequena nobreza da França, decidiu desde logo investir em sua educação: matriculou-o, aos 8 anos de idade, no colégio jesuíta de La Flèche, cujo padrão de ensino era o que havia de melhor na época.

Descartes, porém, sempre teve saúde extremamente frágil, razão pela qual não lhe era cobrada no colégio a regularidade da frequência às aulas; foi nessa época que adquiriu o hábito de permanecer na cama de manhã depois de acordado, para leituras e meditações. Ao concluir seu curso em La Flèche, Descartes já se perguntava: há algum ramo do conhecimento que realmente ofereça segurança? E não vislumbrava como resposta senão a matemática, com a certeza oferecida pelas suas demonstrações. Desde muito jovem as preocupações de ordem filosófica se manifestavam nele.

Aos 20 anos de idade, já graduado em Direito pela Universidade de Poitiers, Descartes estabelece-se em Paris a fim de iniciar-se na vida mundana, como convinha a alguém da sua posição. Mas reencontra-se com Mersenne, que conhecera em La Flèche, e ei-lo em plena metrópole consagrando-se à matemática com todas as suas forças por um ou dois anos. A seguir, entra voluntariamente para a carreira das armas, a fim de conhecer o "mundo". A história não registra nenhum feito militar de Descartes; mas, segundo ele próprio, os delineamentos de sua filosofia surgiram quando servia no exército da Baviera. Em 1629, já desligado das armas, fixa-se na Holanda — um país em que havia mais liberdade de pensamento do que era usual na época — onde viveria os vinte anos seguintes.

Nesse período veio à luz sua geometria.

A obra-prima de Descartes é o Discurso do método, publicado em 1637, na qual expõe a essência de sua filosofia que, em suma, é uma defesa do método matemático como modelo para a aquisição do conhecimento. Essa obra inclui três apêndices, sendo um deles A geometria. As duas primeiras partes deste apêndice constituem uma aplicação da álgebra; a última é um texto sobre equações algébricas.

Já ao início de seu trabalho introduz a notação algébrica, hoje universalmente adotada: x, y, z, ... para as variáveis e a, b, c, ... para as constantes. Descartes pensava nas letras como segmentos de retas. Mas rompeu com a tradição grega ao admitir que x² (ou xx como escrevia) e x³ por exemplo, podiam ser interpretados também como segmentos de reta e não necessariamente como uma área e um volume. Com isso foi-lhe possível mostrar que as cinco operações aritméticas (incluindo a raiz quadrada) correspondem a construções elementares com régua e compasso.

De uma certa forma a ideia de Descartes para o que veio a se chamar geometria analítica complementava a de Fermat, pois, em resumo, ao invés de partir de equações gerais e procurar traduzi-las geometricamente, partia de um problema de lugar geométrico e chegava à equação correspondente — através da qual interpretava o lugar.

(Na figura, C é um ponto genérico do lugar.) No fundo, Descartes usava um sistema de coordenadas oblíquas, limitado ao primeiro quadrante, sem explicitar o eixo das ordenadas. Aliás, sequer os termos abscissa, ordenada e coordenadas figuram em seu trabalho, posto que introduzidos por Leibnitz em 1692.

O Discurso do método fez de Descartes um homem famoso ainda em vida. O fato de ter escrito essa obra em francês (ao invés do latim, língua científica da época) tornou mais fácil a difusão de suas ideias filosóficas. Mas estas não eram bem aceitas pelas universidades e pela Igreja da época. Assim é que, quando seus restos mortais foram depositados no monumento erigido na França em sua memória (Descartes morrera 15 anos antes, na Suécia), a oração fúnebre foi proibida pela corte de seu país.