Excentricidade da Elipse

Numa elipse onde:

• F1 e F2 — focos.
• F1F2 =2c — distância focal (c>0).
• C — centro.
• A, A′, B e B′ — vértices.
• AA′¯¯¯¯¯¯ — eixo maior.
• AA′ =2a — medida do eixo maior (a>0).
• BB′ — eixo menor.
• BB′¯¯¯¯¯¯ =2b — medida do eixo menor (b>0).

Temos um relação algébrica para traduzir fatos geométricos de uma dada elipse. A uma específica relação damos o nome deexcentricidade que será indicada simplesmente por e.

A excentricidade de uma elipse é um número real positivo (e>0) que é definida como o quociente entre a metade da distância focal e ametade da medida do eixo maior da elipse. Ou seja:

Excentricidade da Elipse

e=ca

Com a>0 e c>0 o que implica que e>0.

Como a>c>0 teremos que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido entre 0 e 1: 0<e<1. Pela caracterização algébrica de e, quanto maior for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 1. E, analogamente, quanto menor for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 0.

Já foi dito aqui que:

Não é errado que a medida a seja igual a b, a = b. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas.

O que muda ao aceitarmos que a=b seja possível?

Neste caso a implicação é que c=0. Da relação fundamental:

a2=b2+c2

como a=b⇒a2=b2, logo

a2−b2=c2

0=c2

∴c=0

Daí segue que e=ca=0a=0.

Isso significa que quando os eixos de uma elipse tem medidas iguais (uma vez que se a=b temos 2a=2b, então a distância focal é nula (c=0). Temos no caso de e=0 que será admitido como uma elipse degenerada a circunferência.

O que muda ao aceitarmos que a=c seja possível?

Neste caso a implicação é que b=0. Da relação fundamental:

a2=b2+c2

como a=c⇒a2=c2, logo

a2−c2=b2

0=b2

∴b=0

Com a=c segue que e=ca=1.

Cardica

À medida que 2c tende a 2a (ou: c tende a a) - temos que b tende a 0.

Isso significa, em termos geométricos, que a elipse caracterizada assim terá eixo menor de medida nula. Ou seja, interprete que ela se "achatou" e degenerou-se num segmento de reta justamente por conta de que quanto mais próxima for a medida da distância focal à medida do eixo maior, então a tendência é que a medida do eixo menor diminua, tendendo a zero. Aqui a elipse se degenera numsegmento de reta e diremos que um segmento de reta é uma elipse degenerada de excentricidade unitária (e=1).

Os vértices (extremidades) do segmento de reta coincidem cada qual com um dos focos da elipse.

Nesse cenário, com adapações, aceitando que seja possível a=b ou a=c temos:

• F1 e F2 — focos.
• F1F2 =2c — distância focal (c≥0).
• C — centro.
• A, A′, B e B′ — vértices.
• AA′¯¯¯¯¯¯ — eixo maior.
• AA′ =2a — medida do eixo maior (a>0).
• BB′ — eixo menor.
• BB′¯¯¯¯¯¯ =2b — medida do eixo menor (b≥0).

Fonte: Curso Prof. Cardy

Forte abraço,

Prof. Sérgio Torres

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